Matemática - Equações Diferenciais

Equações diferenciais

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n)   é chamada uma equação diferencial de ordem n.
 

Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

 
Classificação

• Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
   
• Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

Ordem: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos

y' = 2x	tem ordem 1 e grau 1
y"+x2(y')3 - 40y = 0	tem ordem 2 e grau 3
y"'+x2y3 = x.tanx	tem ordem 3 e grau 3

Resolução

A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).

Ex: Equação diferencial ordinária:  = 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx

dy = 3  x2dx - 4 xdx + dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C  (solução geral)

Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3

(condição inicial)

3 = -1 - 2 - 1 + C C = 7  y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)

Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.

As soluções se classificam em:

Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC, 

Solução particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).

Equações lineares homogêneas, 2ª ordem

FORMA : y'' + a1y' + a0y = 0    (a0, a1 constantes)

Ex: y = 

Então y' =    e      y'' = 

Substituindo na equação dada:

  
ou  
() = 0

 0 para todo x, logo devemos ter  = 0, que é uma equação do segundo grau na variável , chamada equação característica.

A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes 1 e 2.

•  1, 2 números reais e distintos  C1 e C2 são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1 + C2
• 1 = 2 =  (números reais e iguais)  a solução geral da EDO é y = C1 + C2x
• 1 = a + bi, 2  = a - bi (complexos conjugados: a, b reais)  a solução geral é y = C1 + C2

Ex:    y'' - 2y' - 15y = 0

Equação característica: - 2 - 15 = 0 cujas raízes são: 1 = 5, 2= -3

Solução geral: y = 

Equações diferenciais lineares de ordem N

Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:

fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x)

onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x.

Classificações

Equação linear homogênea (k(x) = 0),  ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).

Equação linear:

de coeficientes constantes (f0, f1, f2, ..., fn constantes)
de coeficientes variáveis (pelo menos um fi  variável)

Equações diferenciais exatas

Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

é uma equação diferencial exata se e somente se

Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0

P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3  e  Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y

   e  

logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.

Teorema

A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante .

Ex: 

Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²

Pelo teorema: 

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante: 

  - 3x²y = x²   ou      =  x²dx =   + C

A multiplicação por  dá a solução: