Integrais

Integrais indefinidas

Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

Exemplos:

Se f(x) = , então é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .
Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3.
Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.

Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real.

Propriedades das integrais indefinidas

São imediatas as seguintes propriedades:

1ª.

, ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.

2ª.

, ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.

3ª.

, ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.

Integração por substituição

Seja expressão

Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou

, ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

admitindo que se conhece

O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.

Integrais definidas

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

a é o limite inferior de integração;
b é o limite superior de integração;
f(x) é o integrando.

representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para

representa a área entre as curvas, para

Integrais definidas (continuação)

A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma área, o que ocorre em muitos casos, e é uma das formas de se apresentar a integral definida.

De forma geral, para

, a área limitada por f(x) e o eixo x,

é dada por

, que pode representar a soma das áreas de infinitos retângulos de largura

e cuja altura é o valor da função num ponto do intervalo da base:

Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos através das abscissas x0=a, x1, x2,...,xn=b, obtemos os intervalos (a, x1), (x1, x2), ...., (xn-1, b). Em cada intervalo (xi-1, xi) tomemos um ponto arbitrário hi.

Seja

De acordo com a figura, os retângulos formados têm área

Então, a soma da áreas de todos os retângulos é:

que nos fornece um valor aproximado da área considerada.

Aumentando o número n de subintervalos

, tal que

tenda a zero

e o número n de subintervalos tenda a infinito

, temos as bases superiores dos retângulos e a curva praticamente se confundindo e, portanto, temos a área considerada.

Simbolicamente, escrevemos:

Integrais definidas (exemplo)

Seja a área entre y = x e o eixo x, para

Esta área é dada por:

Podemos notar que o processo do limite nos leva ao resultado procurado. Dividindo o intervalo [0, b] em n subintervalos, cada um terá largura

Sejam, então, os pontos:

Como f(x) = x, então

Cálculo da integral definida

O método que temos para o cálculo da área ou da integral definida, no caso, é ainda muito complicado, conforme vimos no exemplo anterior, pois encontraremos somas bem piores.

Para tal, consideremos a área das figuras quando movemos a extremidade direita:

Se a área é dada por A(x), então A(a) = 0, pois não há área alguma. Já A(x) dá a área da figura 1, A(b), a área entre

ou seja:

ou seja, A(x) é uma das antiderivadas de f(x). Mas sabemos que se F(x) é antiderivada qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C. Fazendo x = a, temos: A(a) = F(a) + C = 0 (A(a) = 0)

Logo, C = - F(a) e A(x) = F(x) - F(a).

Portanto:

ou ainda,

Exemplos:

Note que conseguimos uma forma de calcular integrais definidas e áreas sem calcular somas complicadas e usando apenas as antiderivadas.

Propriedades da integral definida

Princípio do Cálculo de Integrais

Uma visão geral dos métodos de integração

Métodos de abordagem dos problemas de integração

Tecnologia - Os programas CAS, tais como Mathematica, Maple e Derive, são capazes de calcular integrais extremamente complicadas, e cada vez mais instalações modernas de pesquisa estão sendo equipadas com tais programas.
Tabelas - Antes do desenvolvimento dos programas CAS, os cientistas dependiam enormemente de tabelas para o cálculo das difíceis integrais que surgem nas aplicações. Tais tabelas foram compiladas por muitos anos, incorporando habilidade e experiência de muita gente.
Métodos de transformação - São métodos para converter integrais não-conhecidas em conhecidas. Eles incluem substituição u, manipulação algébrica do integrado, entre outros métodos.

Nenhum dos três métodos é perfeito; por exemplo, os programa CAS frequentemente encontram integrais que não são capazes de integrar e produzem respostas que são, às vezes, excessivamente complicadas, tabelas não são exaustivas e podem não incluir uma integral de interesse,e os métodos de transformação dependem da engenhosidade humana,que pode não ser adequada a problemas difíceis.

Fórmulas de integração

A seguir está uma lista das integrais básicas que encontramos até agora:

Constantes,potências e exponenciais

Funções trigonométricas

Funções hiperbólicas

Funções algébricas (a>0)

Integração por partes

Dedução da fórmula para a integração por partes

Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto,

Integrando ambos os lados, obtemos

Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos

(1)

a qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes podemos tornar um problema de integração mais simples.

Na prática, é usual reescrever (1) fazendo

u=f(x), du=f '(x)dx

Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1):

(2)

Exemplo

Calcule

Solução. Para aplicar (2), precisamos escrever a integral na forma

Uma maneira de fazer isso é colocar

para que,

Deste modo,a partir de(2)

Integração por partes para integrais definidas

Para integrais definidas, a fórmula correspondente a (2) é:

Exemplo

Calcule

Solução. Seja

Assim,

Mas

logo

Fórmulas de redução

A integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução para integrais.

Estas fórmulas expressam uma integral com potência de função em termos de uma integral que envolve uma potência mais baixa daquela função.

Por exemplo, se n for um inteiro positivo e n

2, então a integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução.

(2)

Para ilustrar como essas fórmulas são obtidas,vamos deduzir a fórmula (2).

para que

Transpondo o último termo para o lado esquerdo obtém-se

da qual tem-se(2).

Exemplo

Calcule

Solução. A partir de (2),com n=4

Integrais trigonométricas

Integração de potências de seno e cosseno

Na seção fórmulas de redução, obtivemos as fórmulas:

No caso onde n=2, estas fórmulas ficam:

Podem-se obter formas alternativas para estas fórmulas de integração usando as identidades trigonométricas.

que provêm das fórmulas para o ângulo duplo

Essas identidades dão lugar a

Integração de produtos de senos e co-senos

Se m e n são inteiros positivos,então a integral

pode ser calculada de diversas maneiras,dependendo de m e n serem pares ou ímpares.

Exemplo

Calcule

Solução.

Integração de potências de tangente e de secante

O procedimento para integração de potências de tangente e de secante segue paralelamente os do seno e cosseno. A ideia é usar as seguintes fórmulas de redução para reduzir o expoente do integrando até que a integral resultante possa ser calculada: