Matemática - Números Complexos

Números complexos

Vamos considerar a equação x² - 2x + 5 = 0:

Sabemos que o número  não pertence ao conjunto dos números reais, pois não existe nenhum número que elevado ao quadrado resulte em -1. Para que a equação acima tenha solução, temos que estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto, chamado de conjunto dos números complexos e representado por .
O número  foi denominado unidade imaginária e criou-se o número i, de modo que:

i² = -1

Logo,

i =

Portanto, as soluções da equação x² - 2x + 5 = 0 em  são 1 - 2i e 1 + 2i.

Forma algébrica de um número complexo

Todo número complexo z pode ser escrito na forma:

z =  a + bi, com a, b

Essa forma é chamada forma algébrica do número complexo. Observe que um número complexo nesse formato tem duas partes:

Indicamos:
Re(z) = a
Im(z) = b

Exemplos

• z =  3 + 5i             Re(z) = 3 e Im(z) = 5
• z = -7 +18i            Re(z) = -7 e Im(z) = 18
• z = 53 – 25i          Re(z) = 53 e Im(z) = -25

• Se a parte real do número complexo é nula, então o número é imaginário puro.

Exemplo: z = 3i    Re(z) = 0 e Im(z) = 3

Exemplo

Determine o valor de k para que o número complexo z = (k – 4) +3i seja imaginário puro:

Resolução
Para que o número seja imaginário puro, a parte real deve ser nula:

k – 4 = 0  k = 4

• Se a parte imaginária do número complexo é nula, então o número é real.

Exemplo: z = 10   Re(z) = 10 e Im(z) = 0

Exemplo

Determine o valor de k para que o número complexo z = 3+(k² – 4)i seja um número real:

Resolução
Para que o número seja real, a parte imaginária deve ser nula:

k² – 4 = 0  k² = 4  k = -2 ou k = 2

Podemos associar  qualquer número complexo z = a +bi a um ponto no plano de Argand-Gauss. No eixo das abscissas (eixo real,) representa-se a parte real, e, no eixo das ordenadas (eixo imaginário), a parte imáginária do número complexo. O ponto P é o afixo ou imagem geométrica de z.

Exemplo

Represente no plano de Argand-Gauss os números complexos:

Resolução
Cada complexo será um ponto no plano cuja abscissa é a parte real e a ordenada é a parte imaginária:

Note que os números reais estão localizados sobre o eixo real, assim como os números imaginários puros estão sobre o eixo imaginário.

Observação: Não é definida para o campo dos números complexos a relação de ordem, isto é, não existe um número complexo maior ou menor que outro.

Igualdade de números complexos

Dois números complexos são iguais quando suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais.

Exemplo

Determine x e y, de modo que:

(2x + y) + 6i = 5 + (x + 4y)i.

Resolução

Conjugado de um número complexo

Sendo z = a + bi, define-se como conjugado de z o complexo = a – bi, ou seja:

z = a + bi  = a – bi

Na prática, para se obter o conjugado de um número complexo, trocamos o sinal do coeficiente da parte imaginária.

Exemplos

Geometricamente, podemos observar que dois números complexos conjugados têm, respectivamente, partes reais iguais e partes imaginárias simétricas.

Exemplo

z = 5 + 2i e seu conjugado = 5 -2i

Adição e subtração de números complexos na forma algébrica

Adição

Considerando-se os complexos:

,

a soma  é obtida somando-se suas partes reais e imaginárias separadamente:

= (a + c) + (b + d)i

Exemplos

• (2 + 3i) + (5 + 4i) = (2+5) + (3 + 4)i = 7 + 7i
• 2i + (6 + 9i) = (0 + 6) + (2 + 9)i = 6 + 11i
• (5 + 3i) + 3 = (5 + 3) + (3 + 0)i = 8 + 3i

Subtração

Dados os complexos ,
a diferença  é obtida subtraindo-se suas partes reais e imaginárias separadamente:

= (a - c) + (b - d)i

Exemplos

• (2 + 3i) - (5 + 4i) = (2 - 5) + (3 - 4)i = -3 - i
• 2i - (6 - 9i) = (0 - 6) + (2 -(-9))i = -6 + 11i
• (5 + 3i) - 3 = (5 - 3) + (3 - 0)i = 2 + 3i

Multiplicação e divisão de números complexos na forma algébrica

Multiplicação

Dados os complexos:

,

o produto  é obtido de acordo com a regra da multiplicação de binômios e sabendo-se que i² = -1:

Exemplos

Divisão

Dados os complexos ,
o quociente  é obtido multiplicando-se ambos os termos da fração pelo conjugado do denominador.

Justificativa:
Multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número complexo, o valor de  não se altera. Além disso, note que o denominador  é um número real:

Desta maneira, podemos obter a forma algébrica de .

Exemplos

Potências de i

Vamos calcular algumas potências de i:

Note que os resultados repetem-se de 4 em 4. Então podemos escrever:

Portanto, para calcular potências de i, basta dividir o expoente de i por 4 e considerar apenas i elevado ao resto dessa divisão.

Exemplos

Módulo e argumento de um número complexo

Considere o número complexo z = a + bi e o ponto P que o representa.

A distância de P até a origem é denominada módulo de z, e representada por . Do triângulo retângulo destacado temos:

A medida do ângulo , formado por  com o eixo das abscissas, medido no sentido anti-horário, é denominada argumento do complexo z. Note que .

Indica-se:

= arg(z)

 Note que:

 e 

Exemplo

Determine o módulo e o argumento de .

Resolução:

Módulo:

Argumento:

Forma trigonométrica ou polar

Considere o número complexo z = a + bi, de módulo e argumento .

Temos que:

Substituindo em z = a + bi, temos:

Essa expressão é denominada forma trigonométrica ou polar do complexo z.

Exemplo 1

Escreva na forma trigonométrica o número complexo z = 1 + i:

Resolução

Módulo:

Argumento:

Portanto, z pode ser escrito na forma trigonométrica:

Exemplo 2

Escreva na forma trigonométrica o número complexo z = 8i:

Resolução

Módulo:

Argumento:

Portanto, z pode ser escrito na forma trigonométrica:

Exemplo 3

Escreva na forma algébrica o número complexo :
Resolução

Essa transformação é imediata, pois basta substituir  e  pelos respectivos valores:

Multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica

Algumas operações com números complexos são mais facilmente efetuadas quando os números estão na forma trigonométrica.

Acompanhe a seguir como funcionam as operações de multiplicação de divisão.

Multiplicação

Considere dois números complexos na forma trigonométrica . O produto é dado por:

Lembrando das fórmulas de adição de arcos:

Assim:

Observe que o produto  é um número complexo cujo módulo é o produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é a soma dos argumentos dos fatores.

Exemplo
Calcule o produto , com :

Resolução

• O módulo de  é  produto .
• O argumento de é dado pela soma .

Assim:

 

Divisão

Considere dois números complexos na forma trigonométrica:

.

O quociente é dado por:

Lembrando das fórmulas de diferença de arcos:

E da relação trigonométrica fundamental: 

 Assim:

Observe que o quociente  é um número complexo cujo módulo é o quociente dos módulos do dividendo e do divisor, e cujo argumento é a diferença  dos argumentos do dividendo e do divisor.

Exemplo

Calcule o quociente , com :

Resolução

• O módulo de  é o quociente .
• O argumento de  é dado pela diferença 

Como fazemos: 

Assim:

Potenciação e radiciação de números complexos na forma trigonométrica

Potenciação

Sendo  e n um número inteiro maior que 1, temos:

Assim:

Essa fórmula é conhecida como 1ª fórmula de Moivre.

Exemplo

Calcule :

Vamos considerar  para posteriormente calcularmos . Para aplicar a 1ª fórmula de Moivre, precisamos calcular o módulo e o argumento de z.

Módulo: 

Argumento: 

Calculando :

Radiciação

Se , suas raízes enésimas são dadas por:

Essa expressão é conhecida como 2ª fórmula de Moivre.

Exemplo

Determine as raízes cúbicas de z = 8.

Resolução

Vamos calcular o módulo e o argumento de z para a aplicação da 2ª fórmula de Moivre:

Módulo: 

Argumento: 

As raízes cúbicas de 8 são dadas por:

O número k pode assumir os valores 0, 1 e 2:

Geometricamente, note que as três raízes estão sobre uma circunferência de raio 2 e são vértices de um triângulo equilátero; seus argumentos formam uma PA, cujo primeiro termo é 0 e a razão é.