Matemática - Derivadas
Reta Tangente
Para entender o conceito de derivada, primeiramente você precisa saber o que é uma reta tangente.
Fixamos um ponto P no gráfico de uma função f, e escolhemos um Q
P. Fazendo Q se aproximar de P, pode acontecer que a reta PQ tenda a uma posição-limite: uma reta t.
![diferente.gif (293 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada_diferente.gif)
Nesse caso, t é chamada reta tangente de f em P, desde que ela não seja vertical. Assim, a reta PQ é chamada de reta secante ao gráfico de f em P.
Podemos observar no gráfico abaixo que Q deve se aproximar de P tanto pela esquerda quanto pela direita, e em ambos os casos a reta PQ deve tender a t (reta verde).
Primeiro gráfico - Pela esquerda
Segundo gráfico - Pela direita
OBS: A reta tangente ao gráfico de uma função nem sempre existe.
A figura abaixo apresenta um exemplo de gráfico onde P é o bico de uma função, sendo assim, o processo descrito anteriormente conduz a duas posições-limites (t1 e t2), obtidas respectivamente ao fazer Q se aproximar de P pela esquerda e pela direita.
Cálculo da inclinação da reta tangente
Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f e P(xo, f(xo)) um ponto sobre a curva. Analisaremos agora, o cálculo da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva traçada por f no ponto P.
Para analisarmos esta questão, escolhemos um número pequeno
x, diferente de 0, onde
x é o deslocamento no eixo das abscissas. Sobre o gráfico, marcamos o ponto Q(xo +
x, f (xo +
x)). Traçamos uma reta secante que passa pelos pontos P e Q.
![delta.gif (302 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada_delta.gif)
![delta.gif (302 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada_delta_0000.gif)
![delta.gif (302 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada_delta_0001.gif)
![delta.gif (302 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada_delta_0002.gif)
A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada da seguinte maneira:
![formula.gif (742 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada_formula.gif)
Derivada
Definição
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0, é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
y', dy/dx ou f ' (x).
y', dy/dx ou f ' (x).
A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva15.gif)
Algumas derivadas básicas
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.
Derivada de uma constante
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva16.gif)
Derivada da potência
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva18.gif)
Portanto:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva17.gif)
Soma / Subtração
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva19.gif)
Produto por uma constante
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva20.gif)
Derivada do produto
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva22.gif)
Derivada da divisão
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva23.gif)
Potência de uma função
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva24.gif)
Derivada de uma função composta
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva25.gif)
Regra da cadeia
Com as regras que temos à nossa disposição até o presente momento, não conseguimos calcular alguns tipos de derivadas.
Veremos agora a regra da cadeia, uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções. Criada por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial.
A fórmula é a seguinte:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva25.gif)
Ela pode ser escrita como:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva26.gif)
Outra fórmula similar é a seguinte:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva27.gif)
Exemplo
Calcular ![exemplo4.gif (566 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada2_exemplo4.gif)
![exemplo4.gif (566 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada2_exemplo4.gif)
Procedemos do seguinte modo:
Escrevemos y = ln (x² + 1). Com a esperança de usar a derivada de ln, faremos:
u = x² + 1
y = ln u
y = ln u
Calculamos:
![exemplo6.gif (842 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada2_exemplo6.gif)
Usamos a regra da cadeia, cujo primeiro membro é a derivada procurada:
![formula7.gif (617 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada2_formula7.gif)
ou seja, multiplicando as derivadas obtidas no passo anterior:
![exemplo7.gif (515 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada2_exemplo7.gif)
Usamos agora a expressão de u que é (x² + 1), para obter
![exemplo8.gif (719 bytes)](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/derivada2_exemplo8.gif)
Derivada da função inversa
A inversa da função y(x) é a função x(y):
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva28.gif)
Derivadas de funções trigonométricas e suas inversas
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva1.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva2.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva3.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva4.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva5.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva6.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva7.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva8.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva9.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva10.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva11.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva12.gif)
Derivadas de funções exponencial e logarítmica
Derivada do logaritmo natural
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva13.gif)
Derivada do logaritmo em outras bases
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva14.gif)
Exponencial
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_15.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_16.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_17.gif)
Lembre-se da definição da função logarítmica com base a > 0:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_18.gif)
Derivadas das funções hiperbólicas e suas inversas
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_19.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_20.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_21.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_22.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_23.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_24.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_25.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_26.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_27.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_28.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_29.gif)
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_30.gif)
Lembre-se das definições das funções trigonométricas:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_31.gif)
Derivadas de alta ordem
Seja y = f(x). Temos:
A segunda derivada é dada por:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_1.gif)
A terceira derivada é dada por:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_2.gif)
A enésima derivada é dada por:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_3.gif)
Em alguns livros, a seguinte notação também é usada:
![](https://www.somatematica.com.br/superior/deriv/deriva_4.gif)
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