Determinantes

Introdução

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo n x n). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:

det M =Ia11I = a11

Observação: representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo. Por exemplo:

M= [5]

det M = 5 ou |5| = 5

M = [-3]

det M = -3 ou |-3| = -3

Determinante de 2ª ordem

Dada a matriz

, de ordem 2, por definição o determinante associado a M, de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Menor complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz

, de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:

b) Sendo

, de ordem 3, temos:

Cofator

Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij .

Acompanhe o exemplo:

a) Dada

, os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:

b) Sendo

, vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn

pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

Assim, fixando

, temos:

em que

é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m,

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz A, aplicando o Teorema de Laplace:

Destacando a segunda linha da matriz, temos D = 5 . A21 + 0 . A22 + 1 . A23 + (-3) . A24. Vamos calcular os cofatores:

Para finalizar, calculamos o determinante:

D = 5 . A21 + 0 . A22 + 1 . A23 + 3 . A24
D = 5 . (–411) + 0 . (462) + 1 . (60) + (–3) . (–399)
D = –2055 + 0 + 60 + 1197
D = – 798

Regra de Sarrus

O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3

Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Propriedades dos determinantes

Os determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P1) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. Exemplos:

P5) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

Propriedades dos determinantes (continuação)

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Exemplo:

P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplos:

P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos:

Propriedades dos determinantes (continuação)

P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por

. Exemplos: