Matemática - Função Afim

Função do 1º grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a)    Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b)    Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,  e outro ponto é .

Marcamos os pontos (0, -1) e  no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x	y
0	-1
	0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Zero ou raiz da função do 1º grau

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que  f(x) = 0. Temos:

f(x) = 0    ax + b = 0   

Vejamos alguns exemplos:

1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
   f(x) = 0    2x - 5 = 0     
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
   g(x) = 0    3x + 6 = 0     x = -2
      
3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas:
   O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
   h(x) = 0     -2x + 10 = 0      x = 5

Função crescente ou decrescente

Consideremos a função do 1º grau y=3x-1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -10 -7 -4 -1 2 5 8

Perceba que, quando aumentamos o valor de x, os valores correspondentes de y também aumentam. Dizemos então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observe o seu gráfico:

Regra geral:

- a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
- a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);

Justificativa:

• para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
• para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Sinal da função do 1º grau

Estudar o sinal de qualquer função y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.

Considerando uma função afim y = f(x) = ax + b, vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

1º) a > 0 (a função é crescente)

y > 0       ax + b > 0         x > 

y < 0      ax + b < 0         x < 

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)

y > 0   ax + b > 0            x < 

y < 0   ax + b < 0        x > 

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.