Matemática - Função Quadrática

Função quadrática ou função do 2º grau

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:

• f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
• f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
• f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
• f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
• f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x	y
-3	6
-2	2
-1	0
0	0
1	2
2	6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zeros ou raízes da função do 2º grau

Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

Observação:

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando  é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando  é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0,

a < 0

Construção da parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V  indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x=0 , temos y = a·02 + b·0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal da função quadrática

Considere uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c. Vamos determinar os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo.

Conforme o sinal do discriminante  = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º -   > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1  x2). A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x1 ou x > x2)
y < 0 x1 < x < x2

quando a < 0

y > 0 x1 < x < x2
y < 0  (x < x1 ou x > x2)   

 2º -   = 0

quando a > 0

quando a < 0

3º -   < 0

quando a > 0

quando a < 0