Geometria analítica - Cônicas

Introdução

Chamamos de cônicas as curvas geradas ou encontradas na intersecção de um plano que atravessa um cone. Estudaremos as seguintes cônicas:

Elipse: definida na interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone. Também é usada na gramática, para definir uma figura de linguagem, mais especificamente uma figura de construção ou sintática que consiste na omissão de um termo facilmente subentendido pelo contexto, e quando este já apareceu antes e quer-se evitar a repetição, recebe o nome de zeugma;
Parábola: também definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone. Também é usada na religião, para definir uma narrativa alegórica que evoca, por comparação, valores de ordem superior, encerra lições de vida e pode conter preceitos morais ou religiosos, encontrada especialmente nos textos dos Evangelhos;
Hipérbole: definida na interseção de um plano que penetra num cone em paralelo ao seu eixo. Também é usada na gramática, para definir uma figura de linguagem, mais especificamente uma figura de pensamento, que consiste no emprego de uma expressão exagerada para dar mais expressividade à mensagem.

Elipse

Considerando, num plano

, dois pontos distintos, F1 e F2 e, sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano

tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

A figura obtida é uma elipse. Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

focos : os pontos F1 e F2
centro: o ponto O, que é o ponto médio de
semi-eixo maior: a
semi-eixo menor: b
semidistância focal: c
vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
eixo maior:
eixo menor:
distância focal:

Relação fundamental

Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1.

Observação: quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

Equações da elipse

Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definição de elipse

, obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

Nessas condições, a equação da elipse é:

Hipérbole

Considerando, num plano

, dois pontos distintos, F1 e F2 e, sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2, chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano

tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.

Observação: os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice: