Matemática - Geometria Analítica (Retas) (2)

Equação reduzida

Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:

Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos:

Fazendo , vem:

y = mx + q

Esta é a equação reduzida da reta, em que  fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida.

Coeficiente angular

Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:

O ângulo  é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre . Assim:

• para  (a tangente é positiva no 1º quadrante)
• para  (a tangente é negativa no 2º quadrante)

Exemplos:

Determinação do coeficiente angular

Vamos considerar três casos:

a) o ângulo  é conhecido

b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, yB)

Como  ( ângulos correspondentes) temos que .

Mas, m = tg     Então:

Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:

c) a equação geral da reta é conhecida

Se uma reta passa por dois pontos distintos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos:

Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem:

(YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0

Da equação geral da reta, temos:

Substituindo esses valores em  , temos:

Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r

Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X0, Y0), P  r, e Q(x,y) um ponto qualquer de r(QP), podemos escrever:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X0=1  e Y0=2. Logo:

y-y0=m(x-x0)
y-2 = 3(x - 1)
y-2 = 3x - 3
3x - y - 1 = 0

que é a equação geral de r.

Representação gráfica de retas

Para representar graficamente as retas de equação ax + by + c = 0 ( b0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da reta. Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.

Coordenadas do ponto de intersecção de retas

A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas retas. Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:

Substituindo esse valor em x -y = -1, temos:

1 - y = -1

y = 2

Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.

Graficamente, temos:

Posições relativas entre retas

Paralelismo

Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.

 

Concorrência

Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:

Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0  e  s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:  

Perpendicularismo

Se r  e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se . Acompanhe o desenho:

Ângulo entre duas retas

Sendo r e s duas retas não-verticais e não-perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo , temos:

Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo  pode ser agudo ou obtuso. Logo:

Essa relação nos fornece o ângulo agudo  entre r e s, pois . O ângulo obtuso  será o suplemento de .

Distância entre ponto e reta

Dados:

- um ponto P(x1, y1)
- uma reta r:ax + by + c = 0

A distância entre eles (dpr) é dada por:

Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0.

Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2  e  c=1. Assim:

Bissetrizes

Considere as retas concorrentes:

r: a1x + b1y + c1 = 0 
s: a2x + b2y + c2 = 0,

Elas se interceptam em um ponto Q.

Se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das bissetrizes, PQ, então P equidista de r e s:

Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissetriz; considerando o sinal negativo, obtemos a outra. Vejamos um exemplo:

Se r: 3x + 2y - 7 = 0  e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas bissetrizes são: