Matemática - Geometria Analítica (Retas)

Geometria analítica - Retas

Introdução

Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.

Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta (origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algébrica de um segmento 

Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:

A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.

Plano cartesiano

A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes (1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.

Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano).

Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (ponto, reta, circunferência) e da álgebra (relações, equações, etc), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. Observe o plano cartesiano nos quatro quadrantes:

    Exemplos:

• A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)
• B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos

Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Razão de secção

Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) de uma mesma reta , o ponto C divide  numa determinada razão, denominada razão de secção e indicada por:

em que , pois se , então A = B.

Observe a representação a seguir:

Como o , podemos escrever:

Vejamos alguns exemplos:

• Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em que o ponto P divide  é:
  
  

Se calculássemos rp usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:

• Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:
  
  

Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento orientado  contido em um eixo, temos:

• se P é interior a , então rp > 0  
• se P é exterior a , então rp < 0
• se P = A, então rp =0 
• se P = B, então não existe rp (PB = 0)
• se P é o ponto médio de , então rp =1 

Ponto médio

Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P,  que divide  ao meio, temos:

Assim:

Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:

Baricentro de um triângulo

Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados , respectivamente. Portanto,  são as medianas desse triângulo:

Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo. Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da mediana da que vai do baricentro até o ponto médio do lado. Veja:

Cálculo das coordenadas do baricentro

Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC) vértices de um triângulo, se N é ponto médio de , temos:

Mas:

Analogamente, determinamos . Assim:

Condições de alinhamento de três pontos

Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então:

Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos:

a) três pontos alinhados horizontalmente

Neste caso, as ordenadas são iguais:

yA = yB = yC

e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais.

b) três pontos alinhados verticalmente

Neste caso, as abscissas são iguais:

xA = xB = xC

 e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais.

c) três pontos numa reta não-paralela aos eixos

Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então:

Desenvolvendo, vem:

Como:

então .

Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se , então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC) estão alinhados.

Equações de uma reta

Equação geral

Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.

Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:

ax + by + c = 0

(equação geral da reta r)

Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):

• se am + bn + c = 0, P é ponto da reta;
• se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.

Acompanhe os exemplos:

• Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

• Vamos verificar se os  pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

Como a igualdade é verdadeira, então P  r.

Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1 - 2 + 2  0

Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.

Equação segmentária

Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com :

A equação geral de r é dada por:

Dividindo essa equação por pq  , temos:

Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:

Equações paramétricas

São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t.

Assim, por exemplo, , são equações paramétricas de uma reta r.

Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações:

 x = t + 2 t = x -2

Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos:

y = -(x - 2) + 1 = -x + 3  x + y - 3 = 0  (equação geral de r)