Matemática - Geometria Analítica (Circunferência)

Circunferência

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Equações da circunferência

Equação reduzida

Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.

Equação geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

(x - 2)2  + (y + 3)2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência

Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência. Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

• os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1;
• não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0. Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:

• 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente

x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6

• 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

• 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16

• 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Em relação à circunferência de equação:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

O ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

a) P é exterior à circunferência

b) P pertence à circunferência

c) P é interior à circunferência

Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a)2 + (y - b)2 - r2:

• se (m - a)2 + (n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência;
• se (m - a)2 + (n - b)2 - r2 = 0, então P pertence à circunferência;
• se (m - a)2 + (n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.

Posição de uma reta em relação a uma circunferência

Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência  de equação (x - a)2 + (y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :

Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência : (x - a)2 + (y - b)2 = r2, temos:

Assim:

Condições de tangência entre reta e circunferência

Dados uma circunferência  e um ponto P(x, y) do plano, temos:

a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P.

b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P.

c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P.