Matemática - Geometria Espacial (2)

Projeção ortogonal

A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano  é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano  é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :

Distâncias entre ponto, reta e planos

A distância entre um ponto e um plano é a medida  do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:

A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:

A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:

A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:

Ângulos entre retas e planos

O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra:

O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano:

Observações:

c

Diedros, triedos, poliedros

Diedros

Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:

Triedos

Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:

Ângulo poliédrico

Sejam  n () semirretas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semirretas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semirretas em um mesmo semiespaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.

Poliedros

Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
   

Poliedros convexos e côncavos

Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semiespaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.

Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
   

Classificação

Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:

• tetraedro: quatro faces
• pentaedro: cinco faces
• hexaedro: seis faces
• heptaedro: sete faces
• octaedro: oito faces
• icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

Existem cinco poliedros regulares, que são apresentados a seguir:

Poliedro	Planificação	Elementos
Tetraedro		4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas
Hexaedro		6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas
Octaedro		8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas
Dodecaedro		12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas
Icosaedro		20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas

Relação de Euler

Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe os exemplos:

V=8   A=12    F=6 8 - 12 + 6 = 2

V = 12  A = 18   F = 8 12 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler.

Assim, nas figuras acima, o  primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

Prismas

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo R contido em  e uma reta r que intercepta , mas não R:

Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

      Assim, temos:

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes  paralelos a r.

Elementos do prisma

Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases: as regiões poligonais R e S
• altura: a distância h entre os planos 
• arestas das bases: os lados  ( dos polígonos)
• arestas laterais: os segmentos 
• faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A.

Classificação dos prismas

Um prisma pode ser:

• reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

 prisma reto

 prisma oblíquo

Chamamos de prisma regular todo  prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

prisma regular triangular

prisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção e áreas do prisma

Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.

Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases (figura 1). Todas as secções transversais são congruentes (figura 2).

Áreas

Em um prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (AF ): área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral (AL): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

No prisma regular, temos:

AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;

d) área total (AT): soma da área lateral com a área das bases.

AT = AL + 2AB

Vejamos um exemplo. Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

   

Paralelepípedo

Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo. Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo, ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo

Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo

Considere a figura a seguir:

db = diagonal da base

dp = diagonal do paralelepípedo

Na base ABFE, temos:

No triângulo AFD, temos:

Área lateral

Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL= ac + bc + ac + bc
AL= 2ac + 2bc
AL = 2(ac + bc)

Área total

Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

AT= 2( ab + ac + bc)

Volume

Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:

Cubo

Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a=b=c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

Diagonais da base e do cubo

Considere a figura a seguir:

dc=diagonal do cubo

db = diagonal da base

Na base ABCD, temos:

No triângulo ACE, temos:

Área lateral

A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:

AL=4a2

Área total

A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:

V= a . a . a = a3

Generalização do volume de um prisma

Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri (matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano, paralelo a , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:

Vprisma = ABh

Cilindro

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,, um círculo R contido em  e uma reta r que intercepta , mas não R:

Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

Assim, temos:

Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos  congruentes e paralelos a r.

   
Elementos do cilindro

Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases: os círculos de centro O e O'e raios r
• altura: a distância h entre os planos 
• geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r

Classificação do Cilindro

Um cilindro pode ser:

• circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
• circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

Veja:

O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado  gera o cilindro a seguir:

A reta  contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.