Matemática - Inequações Trigonométricas

Inequações trigonométricas

Introdução

Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma inequação, dizemos que esta inequação é trigonométrica.

Exemplos:

1) sen x >  e sen2 x + tg 2 são inequações trigonométricas.

2) (sen 30º) . (x2 - 1) > 0  não são inequações trigonométricas.

Resolver uma inequação como f(x) < g(x), por exemplo, significa determinar o conjunto S dos números s, sendo s elemento do domínio de f e de g, tais que f(s) < g(s).

O conjunto S é chamado de conjunto solução da inequação e todo elemento de S é uma solução da inequação.

Assim, na inequação sen x > , os números  são algumas de suas soluções e os números  não o são.

Resolução das inequações trigonométricas fundamentais

Quase todas as inequações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das inequações fundamentais. Vamos conhecê-las, a seguir, através de exemplos.

1º caso : sen x < sen a (sen x  sen a)

Por exemplo, ao resolvermos a inequação  encontramos, inicialmente, , que é uma solução particular no intervalo . Acrescentando  às extremidades dos intervalos encontrados, temos a solução geral em IR, que é:

O conjunto solução é, portanto:

Por outro lado, se a inequação fosse  , então, bastaria incluir as extremidades de  e o conjunto solução seria:

2º caso: sen x > sen a (sen x  sen a)

Por exemplo, ao resolvermos a inequação sen x > sen  ou sen x >  encontramos, inicialmente, , que é uma uma solução particular no intervalo .

Acrescentando   às extremidades dos intervalos encontrados, temos a solução geral em IR, que é:

O conjunto solução é , portanto:

   
   

3º caso: cos x < cos a (cos x  cos a)

 Por exemplo, ao resolvermos a inequação  encontramos, inicialmente, , que é uma solução particular no intervalo .

Acrescentando  às extremidades do intervalo encontrado, temos a solução geral em IR, que é:

O conjunto solução é, portanto:

Por outro lado, se a inequação fosse cos x  cos  ou cos x , então, bastaria incluir as extremidades de  e o conjunto solução seria:

Resolução das inequações trigonométricas fundamentais (parte 2)

4º caso: cos x > cos a (cos x  cos a)

Por exemplo, ao resolvermos a inequação  encontramos, inicialmente, , que é uma solução particular no intervalo . Acrescentando ) às extremidades dos intervalos encontrados, temos o conjunto solução seguinte:

5º caso: tg x < tg a   (tg x  tg a)

Por exemplo, ao resolvermos  a inequação  encontramos, inicialmente, , que é uma solução particular no intervalo .

A solução geral em IR pode ser expressa por .

O conjunto solução é, portanto:

6º caso: tg x > tg a ( tg x  tg a)
Vamos estudar este último caso resolvendo a inequação tg x > tg  como exemplo.

Então, na resolução da inequação  encontramos, inicialmente,, que é uma solução particular no intervalo .

 A solução geral em IR pode ser expressa por

.

 O conjunto solução é, portanto: