Matemática - Limites

Limites

Noção intuitiva de limite

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x	y = 2x + 1
1,5	4
1,3	3,6
1,1	3,2
1,05	3,1
1,02	3,04
1,01	3,02

x	y = 2x + 1
0,5	2
0,7	2,4
0,9	2,8
0,95	2,9
0,98	2,96
0,99	2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x 1), y tende para 3 (y  3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.

Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x  1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)  3), dizemos que o limite de f(x) quando x  1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x  a), f(x) se aproxima de b (f(x)b).

   

   Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

   

   Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y  3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

   

   Se g: IR  IR e g(x) = x + 2,  g(x) =  (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

Propriedades dos limites

1ª) 

O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.

Exemplo:

---

2ª) 

O limite do produto é o produto dos limites.

Exemplo:

---

3ª) 

O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

Exemplo:

---

4ª) 

Exemplo:

---

5ª) 

Exemplo:

---

6ª) 

Exemplo:

---

7ª) 

Exemplo:

---

8ª) 

Exemplo:

Limites Laterais

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.

Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.

O limite de f(x) para xa existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:

• Se 
• Se 

Continuidade

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

• 
• 
• 

Propriedade das Funções contínuas

   Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

•  f(x)g(x) é contínua em a;
• f(x) . g(x) é contínua em a;
• é contínua em a .

Limites envolvendo infinito

Conforme sabemos, a expressão:

x  (x tende para infinito)

significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.

Exemplo:

a) , ou seja, à medida que x aumenta,  y tende para zero e o limite é zero.

b) , ou seja, à medida que x diminui,  y tende para zero e o limite é zero. 

c) , ou seja, quando  x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.

d) , ou seja, quando x  tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito

Limite de uma função polinomial para 

Seja a função polinomial . Então:

Demonstração:

  

Mas:

Logo:

De forma análoga, para  , temos:

Exemplos:

Limites trigonométricos

Demonstração:

Para ,  temos  sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

Invertendo, temos:

Mas:

•  
• g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então, . Logo, 

Limites exponenciais

Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é  2,7182818.
Veja a tabela com valores de x e de . 

x	1	2	3	10	100	1 000	10 000	100 000
	2	2,25	2,3703	2,5937	2,7048	2,7169	2,7181	2,7182

Notamos que à medida que .
De forma análoga, efetuando a substituição , temos:

Ainda de forma mais geral, temos:

As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas. 

Se ,então  .
Mas:

Logo: 

   

Como x 0 , então u  0. Portanto:

   

   Generalizando a propriedade acima, temos .