Matemática - Séries e Sequências

Séries e Sequências

Sequências

Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos. O contradomínio de uma sequência será considerado o conjunto dos números reais.

A cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n).

   

a1 = f(1) ; a2 = f(2) ; a3 = f(3) ; ... ; an = f(n)

Notações

{an} = {a1, a2, a3, ..., an, ...}

an é o termo genérico da sequência.

Exemplos

1) 

2) 

Se, quando n cresce, an se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se que a sequência {an} tem limite L (ou converge para L) e se escreve:

Uma sequência que não é convergente é chamada de divergente.

Teorema do sanduíche

Se {an}, {bn}, {cn} são sequências tais que an bn cn para todo  e se

então  

Séries

Definição: Se {an} é uma sequência, então a soma infinita:

a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = 

é chamada série.

Cada número ai é um termo da série;

an é o termo genérico de ordem n.

Para definir a soma de infinitas parcelas, consideram-se as somas parciais

S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
------------------------
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

E a sequência das somas parciais

S1, S2, S3, ..., Sn, ...

Se essa sequência tem limite S, então a série converge e sua soma é S.

Ou seja: Se  , então a série converge e sua soma é  a1+a2+a3+...+an... = S

Se a sequência {Sn} não tem limite, então a série diverge.

Teorema

Se a série  converge, então .

Obs: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes.

* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o seguinte teste.

Teste da divergência

Dada a série   ,   diverge.

Série geométrica

Uma série geométrica é do seguinte tipo:

sendo a0 e r a razão.

Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

a = 1
r = 

Soma de uma série geométrica

A série geométrica  

Converge e tem soma    se | r | < 1.
Diverge se | r |  1.

Teste da comparação

Sejam   e    duas séries de termos positivos. Então:

* Se      , sendo "c" um número real, então as séries são ambas convergentes ou ambas divergentes.

* Se    e se  converge, então  também converge.

* Se     e se   diverge, então  também diverge.

OBS: Se an é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto no denominador de bn somente os termos de maior importância.

Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:

    é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste da comparação, temos:

  

Logo, conclui-se que a série converge.

Série-P, série alternada e série de potência

Série-P

É uma série da seguinte forma:

CONVERGE se p > 1
DIVERGE se p1

Se p = 1, a série

é chamada série harmônica e, de acordo com o teorema, é divergente.

Série alternada

É da forma:

Séries de potência

Séries de potências de x

ou

Séries de potência de (x-c)

Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0.

Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode convergir ou divergir.

Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se substituirmos x por 0 a série se reduz a a0.

Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c.

Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste da razão.

Teste de Leibniz

Uma série alternada CONVERGE se:

* Seu termo genérico, em módulo, tende a zero.

* A série dos módulos é decrescente.

Há três maneiras diferentes de verificar se a série dos módulos é decrescente.

a) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

b) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

c) considerar a função f(x) = f(n) e verificar o sinal de sua derivada. Se f'(x)<0, então f é decrescente.

Convergência absoluta

Uma série  é absolutamente convergente se a série dos módulos

é convergente.

Por exemplo, a série alternada
é absolutamente convergente, pois a série dos módulos  é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente.

Teorema

Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente.

Teste de D'Alembert

Seja  uma série de termos não nulos e seja  . Então:

* Se L < 1, a série é absolutamente convergente.

* Se L > 1, (incluindo L = ), a série é divergente.

* Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar).

Resumo sobre séries

Teste da divergência ou do n-ésimo termo
Série: 
Convergência ou divergência: diverge se   
Comentários: Nada se pode afirmar se 

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Teste da série geométrica
Série: 
Convergência ou divergência:
* converge e tem soma     se | r | < 1.

* diverge se | r |  1

Comentários: Útil para testes de comparação

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Teste da série-P
Série: 
Convergência ou divergência:
* converge se p > 1
* diverge se p  1

Comentários: Útil para testes de comparação

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Teste da comparação no limite
Série: e , an > 0, bn > 0

Convergência ou divergência:
* Se   , , então ambas as séries convergem ou ambas divergem.

* Se  e converge, então converge.

* Se    e   diverge, então diverge.

Comentários: A série de comparação , é, em geral, uma série geométrica ou uma série-p.

Para achar bn, consideram-se apenas os termos de an que têm maior efeito.

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Teste de Leibniz
Série: ALTERNADA
, an > 0
Convergência ou divergência:
Converge se:

* 

* A série dos módulos é decrescente.

Comentários: Aplicável somente a séries alternadas. Se o primeiro item é falso, aplica-se o teste da divergência.